Question

設函數，其中。
（Ⅰ）若，求a的值；
（Ⅱ）當時，討論函數在其定義域上的單調性；
（Ⅲ）證明：對任意的正整數，不等式都成立。

Answer 1

（Ⅰ）解： 函數的定義域是                     1分
對求導，得                 3分
由得
解得                                                      4分
（Ⅱ）解由（Ⅰ）知
令，得，則。
所以當時，
方程存在兩根
x變化時，與的變化情況如下表：

				0
	↗	極大值	↘	極小值	↗

 即函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；                  7分
當時，因為
所以（當且僅當時，等號成立），
所以函數在上單調遞增；         8分
當時，因為
所以函數在上單調遞增。
綜上，當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增。                                        9分
（Ⅲ）證明：當時，
令
則在上恒成立，
所以在上單調遞增，                                          10分
則當時，恒有
即當時，有
整理，得                                      11分
對任意正整數n，取得，
所以，整理得           12分
則有
……

所以
，
即                                           14分

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。求解函數的單調性和極值以及不等式的恒成立問題的綜合運用。
（1）因為先求解導數，然后令x=1得到，求解得到a的值；
（2）當a<0時，分類討論函數f(x)在其定義域上的單調性；
（3）要證明：對任意的正整數n，不等式都成立,要用到當a=1時函數的單調性中的結論來分析求證。