Question

【題目】已知函數，．

（1）若曲線在處的切線的方程為，求實數的值；

（2）設，若對任意兩個不等的正數，都有恒成立，求實數的取值范圍；

（3）若在上存在一點，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）

【解析】

試題解析：

（1）由，得，

由題意，，所以．

（2），

因為對任意兩個不等的正數，都有，

設，則，即恒成立，

問題等價于函數，即在為增函數．

所以在上恒成立，即在上恒成立，

所以，即實數的取值范圍是．

（3）不等式等價于，

整理得．

設，由題意知，在上存在一點，使得．

由．

因為，所以，即令，得．

① 當，即時，在上單調遞增，

只需，解得．

② 當，即時，在處取最小值．

令，即，可得．

考查式子，

因為，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．

③ 當，即時，在上單調遞減，

只需，解得．

綜上所述，實數的取值范圍是．