Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣klnx，（常數k＞0）．
（1）試確定函數f（x）的單調區間；
（2）若對于任意x≥1，f（x）＞0恒成立，試確定實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=1﹣ ，且定義域為（0，+∞），

當f'（x）＞0，即有x＞k；所以f（x）的單調增區間為（k，+∞）；

當f'（x）＜0，即有0＜x＜k，所以f（x）的單調減區間為（0，k）

（2）解：若0＜k＜1，函數f（x）在（1，+∞）上遞增，故只要f（1）=1＞0即可；

若k＞1，函數f（x）在（1，k）上遞減，在（k，+∞）上遞增，

故只要f（k）=k（1﹣lnk）＞0，即1＜k＜e；

若k=1時，f（x）=x﹣lnx，對x≥1，有f（x）＞0成立；

故實數k的取值范圍為（0，e）

【解析】（1）首先對f（x）求導，當f'（x）＞0即可求出單調遞增區間，f'（x）＜0即可求出單調遞減區間；（2）分類討論參數k的取值范圍，根據函數的單調性與最值判斷即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．