Question

【題目】定義在R上的單調增函數f（x），對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）若f（k3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．

令y=﹣x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得 f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），

又f（0）=0，則有0=f（x）+f（﹣x）．

即f（﹣x）=﹣f（x）對任意x∈R成立，所以f（x）是奇函數

（2）解：f（x）在R上是單調增函數，又由（1）知f（x）是奇函數．

∵f（k3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），

∴k3x＜﹣3x+9x+2，

∴32x﹣（1+k）3x+2＞0對任意x∈R成立．

令t=3x＞0，問題等價于t2﹣（1+k）t+2＞0對任意t＞0恒成立．

令g（t）=t2﹣（1+k）t+2，其對稱軸為

當 ，即k＜﹣1時，g（0）＞2，符合題意；

當 ，即k≥﹣1時，則△=（1+k）2﹣4×2＜0，∴

綜上，

【解析】（1）根據f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），分別令x=y=0，y=﹣x，即可證得結論；（2）根據f（x）在R上是單調增函數，且是奇函數，將f（k3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0對任意x∈R恒成立，轉化為32x﹣（1+k）3x+2＞0對任意x∈R成立，進而可利用換元法及分類討論的思想，即可求得實數k的取值范圍．
【考點精析】利用函數單調性的性質和奇偶性與單調性的綜合對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集；奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．