Question

【題目】在鈍角△ABC中，∠A為鈍角，令，若．現給出下面結論：

①當時，點D是△ABC的重心；

②記△ABD，△ACD的面積分別為，，當時，；

③若點D在△ABC內部（不含邊界），則的取值范圍是；

④若點D在線段BC上（不在端點），則

⑤若，其中點E在直線BC上，則當時，．

其中正確的有（寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①由共面向量基本定理，結合向量加法的平行四邊形法則，判定即可。

②根據向量加法運算并結合等底等高三角形的面積，求得即可判斷。

③根據點D在三角形內部，可求得x、y的取值范圍，根據斜率的意義并結合線性規劃的內容，綜合求得斜率的取值范圍。

④根據點D在BC上，求得x與y的關系，結合基本不等式即可求得最值。

⑤根據平面向量基本定理，求得 的值。

① ，時， ，所以D為靠近A的三等分點，即為△ABC的重心。所以①正確

②設

則，即

所以 ，所以②正確

③因為D在△ABC內部，所以

即為（x，y）與（-2，-1）連線斜率的取值范圍，由求線性規劃的線性目標函數的取值方法可知， 所以，所以③正確。

④若D在BC上，則 所以

當且僅當 時取得等號，所以④正確

⑤當 時，

因為 ，所以

因為E在BC上，所以

所以 ，所以⑤錯誤

綜上，正確答案為①②③④