Question

（本小題滿分18分）已知函數(shù)，
（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅲ)若在（）上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）在處取得極小值1；（Ⅱ）時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；  時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增。
(Ⅲ) 或.

試題分析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824001818221470.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)時(shí)，，

		1
	—	0	+
		極小

 
所以在處取得極小值1.
（Ⅱ），
    
①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上，在上，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；  
②當(dāng)，即時(shí)，在上，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.       
（III）在上存在一點(diǎn)，使得成立，即 在上存在一點(diǎn)，使得，
即函數(shù)在上的最小值小于零.
由（Ⅱ）可知
①當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以的最小值為，由可得，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824001819188542.png" style="vertical-align:middle;" />，所以；
②當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞增，
所以的最小值為，由可得；
③當(dāng)，即時(shí)， 可得的最小值為，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824001819453651.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
故   
此時(shí)，不成立.   
綜上討論可得所求的取值范圍是：或.
點(diǎn)評(píng)：①極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不定是極值點(diǎn)。②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，一定要先求函數(shù)的定義域。③注意恒成立問(wèn)題與存在性問(wèn)題的區(qū)別。