Question

甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓．現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄如下：

甲	82	81	79	78	95	88	93	84
乙	92	95	80	75	83	80	90	85

（Ⅰ）用莖葉圖表示這兩組數據；
（Ⅱ）現要從中選派一人參加數學競賽，從統計學的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由；
（Ⅲ）若將頻率視為概率，對甲同學在今后的3次數學競賽成績進行預測，記這3次成績中高于80分的次數為ξ，求ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）根據所給的數據，以十位做莖，個位做葉，做出莖葉圖，注意圖形要做到美觀，不要丟失數據．
（II）根據所給的數據做出兩個人的平均數和方差，把平均數和方差進行比較，得到兩個人的平均數相等，但是乙的方差大于甲的方差，得到要派甲參加．
（III）已知記這三次成績中高于80分的次數為ξ，可以取ξ=0，1，2，3，分別求出其概率，列出分布列，從而求出其數學期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ）作出莖葉圖如圖
：…（4分）
（Ⅱ）派甲參賽比較合適．理由如下：

.

x甲

=

1

8

（78+79+81+82+84+88+93+95）=85

.

x乙

=

1

8

（75+80+80+83+85+90+92+95）=85，
S甲2=[（78-85）²+（79-85）²+（81-85）²+（82-85）²+（84-85）²+（88-85）²+（93-85）²+（95-85）²]=35.5，
S 乙2=

1

8

[（75-85）²+（80-85）²+（80-85）²+（83-85）²+（85-85）²+（90-85）²+（92-85）²+（95-85）²]=41
∵

.

x甲

=

.

x乙

，S甲2＜S 乙2，
∴甲的成績較穩定，派甲參賽比較合適．…（8分）
注：本小題的結論及理由均不唯一，如果考生能從統計學的角度分析，給出其他合理回答，同樣給分．如
派乙參賽比較合適．理由如下：
從統計的角度看，甲獲得85分以上（含85分）的概率P1=

3

8

，
乙獲得85分以上（含85分）的概率P2=

4

8

=

1

2

∵P₂＞P₁，∴派乙參賽比較合適．
（Ⅲ）記“甲同學在一次數學競賽中成績高于80分”為事件A，
則P(A)=

6

8

=

3

4

．…（9分）
隨機變量ξ的可能取值為0、1、2、3，且ξ∈(3 ， 

3

4

)．
∴P(ξ=k)=

C

k 3

(

3

4

)k(

1

4

)3-k，k=0，1，2，3．
所以變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 64	9 64	27 64	27 64

…（11分）
Eξ=0×

1

64

+1×

9

64

+2×

27

64

+3×

27

64

=

9

4

．
（或Eξ=nP=3×

3

4

=

9

4

）…（14分）

點評：本題考查莖葉圖，考查平均數與方差的計算，離散型隨機變量的期望與方差，考查學生的計算能力．對于兩組數據，通常要求的是這組數據的方差和平均數，用這兩個特征數來表示分別表示兩組數據的特征，即平均水平和穩定程度．