Question

（本小題滿分12分）
設函數.
⑴ 當時,求函數在點處的切線方程；
⑵ 對任意的函數恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）

本試題主要是考查了導數的幾何意義的運用和利用導數證明不等式的恒成立問題的綜合運用問題。
（1）首先求解函數解析式，然后求導，得到導數，代入點的坐標，得到切線方程。
（2）根據對任意的函數恒成立，只要研究函數f(x)在給定區間的最小值大于等于零即可。需要對參數a分類討論，得到最值。
解：（1）當時,
由，則                      ---------3分
函數在點處的切線方程 為                         
即                                               ---------4分
(2)                   ---------5分
易知，，則
當即時，由得恒成立，
在上單調遞增， 符合題意。所以 ---------7分
當時，由得恒成立，在上單調遞減，
顯然不成立，舍去。                         ---------8分
當時，由，得即
則
因為，所以。時，恒成立，
在上單調遞減，顯然不成立，舍去。---------11分
綜上可得:                                           --------------12分