Question

若對于正整數k，g（k）表示k的最大奇數因數，例如g（3）=3，g（10）=5；設S_n=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2ⁿ），則數列{S_n}的通項公式是

S_n=

1

3

（4ⁿ+2）

．

Answer 1

分析：對m∈N^*，有g（2m）=g（m），從而可得當n≥2時，S_n=4^n-1+S_n-1，利用S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁，即可求得結論．

解答：解：由題意，g（6）=3，g（10）=5，可得對m∈N^*，有g（2m）=g（m）．           
所以當n≥2時，Sn=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+…+g（2^n-1）+g（2ⁿ）
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2^n-1）]
=

(1+2n-1)×2n-1

2

+[g（1）+g（2）+…+g（2^n-1）]=4^n-1+S_n-1，
于是S_n-S_n-1=4^n-1，n≥2，n∈N^*．
所以S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+2
=

4(1-4n-1)

1-4

+2=

4n

3

+

2

3

，n≥2，n∈N^*．       
又S₁=2，滿足上式，
所以對n∈N^*，S_n=

1

3

（4ⁿ+2）
故答案為：S_n=

1

3

（4ⁿ+2）

點評：本題考查新定義，考查數列的求和，解題的關鍵是正確理解新定義，正確求數列的和是關鍵．