Question

（2012•東城區一模）若對于正整數k，g（k）表示k的最大奇數因數，例如g（3）=3，g（10）=5．設Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n)．
（Ⅰ）求g（6），g（20）的值；
（Ⅱ）求S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅲ）求數列{S_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用g（k）表示k的最大奇數因數，可求g（6），g（20）的值；
（Ⅱ）根據g（k）表示k的最大奇數因數，確定相應的函數值，從而可求S₁，S₂，S₃的值；
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）不難發現對m∈N^*，有g（2m）=g（m），從而可得當n≥2時，S_n=4^n-1+S_n-1，利用S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵g（k）表示k的最大奇數因數，
∴g（6）=3，g（20）=5．                                           …（2分）
（Ⅱ）S₁=g（1）+g（2）=1+1=2；S₂=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=1+1+3+1=6；
S₃=g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=1+1+3+1+5+3+7+1=22．…（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）不難發現對m∈N^*，有g（2m）=g（m）．            …（8分）
所以當n≥2時，Sn=g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+…+g(2n-1)+g(2n)
=[g（1）+g（3）+g（5）+…+g（2ⁿ-1）]+[g（2）+g（4）+…+g（2ⁿ）]
=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[g（2×1）+g（2×2）+…+g（2×2^n-1）]
=

(1+2n-1)×2n-1

2

+[g(1)+g(2)+…+g(2n-1)]=4^n-1+S_n-1…（11分）
于是Sn-Sn-1=4n-1，n≥2，n∈N^*．
所以S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁=4^n-1+4^n-2+…+4²+4+2
=

4(1-4n-1)

1-4

+2=

4n

3

+

2

3

，n≥2，n∈N^*．       …（13分）
又S₁=2，滿足上式，
所以對n∈N^*，Sn=

1

3

(4n+2)．                                 …（14分）

點評：本題考查新定義，考查數列的求和，解題的關鍵是正確理解新定義，正確求數列的和是關鍵．