Question

(本小題12分)
如圖,拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離與橢圓的長(zhǎng)半軸相等,設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為在第一象限的交點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn),且的面積為

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn),射線分別交于兩點(diǎn).
(I)求證:點(diǎn)在以為直徑的圓的內(nèi)部;
(II)記的面積分別為,問是否存在直線,使得?請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(1)
(2) (I)見解析；(II) 不存在直線使得

(I)由拋物線方程可知橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=2,再由,從而可求出B的坐標(biāo)，代入橢圓方程可求出b²,從而求出橢圓的方程.
(2)(I) 證明點(diǎn)在以為直徑的圓的內(nèi)部，需證，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823231944315870.png" style="vertical-align:middle;" />只需證明即證,然后直線方程與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理來(lái)解決即可.
解;(1),得橢圓的長(zhǎng)半軸
.代入拋物線求得
橢圓方程為
(2)(I)設(shè)直線的方程為:,由得
設(shè)

又點(diǎn)在以為直徑的圓的內(nèi)部
(II),直線的斜率為
直線的方程為.由得
,
不存在直線使得