Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

在平面直角坐標系中直線的傾斜角為，且經過點，以坐標系的原點為極點， 軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，直線與曲線相交于兩點，過點的直線與曲線相交于兩點，且．

（1）平面直角坐標系中，求直線的一般方程和曲線的標準方程；

（2）求證： 為定值．

Answer 1

【答案】（1）,（2）

【解析】試題分析：（1）根據點斜式可得直線的一般方程，注意討論斜率不存在的情形；根據將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，配方化為標準方程.（2）利用直線參數方程幾何意義求弦長：先列出直線參數方程，代入圓方程，根據及韋達定理可得，類似可得，相加即得結論.

試題解析：解：（1）因為直線的傾斜角為，且經過點，

當時，直線垂直于軸，所以其一般方程為，

當時，直線的斜率為，所以其方程為，

即一般方程為．

因為的極坐標方程為，所以，

因為，所以．

所以曲線的標準方程為．

（2）設直線的參數方程為（為參數），

代入曲線的標準方程為，

可得，即，

則，

所以，

同理，

所以．