Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB，E，F，G，H分別為PC、PD、BC、PA的中點．
求證：（1）PA∥平面EFG；
（2）DH⊥平面EFG．

Answer 1

【答案】證明：（1）∵E、G分別是PC、BC的中點，
∴EG是△PBC的中位線，
∴EG∥PB，
又∵PB平面PAB，EG平面PAB，
∴EG∥平面PAB，
∵E、F分別是PC、PD的中點，
∴EF∥CD，
又∵底面ABCD為正方形，
∴CD∥AB，
∴EF∥AB，
又∵AB平面PAB，EF平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
又EF∩EG=E，
∴平面EFG∥平面PAB，
∵PA平面PAB，
∴PA∥平面EFG．
（2）∵PD⊥AD，PD=AD，H為的中點，
∴DH⊥PA，
∵BA⊥平面PDA，DH平面PDA，
∴DH⊥AB，
∴DH⊥平面PAB，
∴DH⊥PB，
由（1）EF∥AB，EG∥PB，
∴DH⊥EG，DH⊥EF，
∴DH⊥平面EFG．

【解析】（1）根據面面平行的性質推出線面平行；
（2）由題意可證DH⊥PA，DH⊥AB，可證DH⊥平面PAB，從而證明DH⊥PB，由（1）EF∥AB，EG∥PB，從而證明DH⊥EG，DH⊥EF，即可證明DH⊥平面EFG．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握直線與平面垂直的性質(垂直于同一個平面的兩條直線平行)的相關知識才是答題的關鍵．