Question

【題目】如圖，在多面體中，平面，，且為等邊三角形，，與平面所成角的正弦值為．

（1）若是線段的中點，證明：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）．

【解析】試題分析：（1）取的中點為，連接,可證平面,通過證明四邊形為平行四邊形可得結論；（2）取的中點，連結取的中點為，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，由與平面所成角的正弦值為求得，求出平面和平面的一個法向量，根據向量的夾角公式即可求得二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：取的中點為，連接，則可證平面，四邊形為平行四邊形，所以，所以平面；

（2）解：取的中點，連結，則平面，即是與平面所成角，，設，則有，得，取的中點為，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，由（1）知：平面，又，取平面的一個法向量，又，設平面的一個法向量，由，由此得平面的一個法向量，面積，所以二面角的平面角的余弦值為．