Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²-bx+1．
（1）若f（x）＜0的解集是(

1

4

，

1

3

)，求實數(shù)a，b的值；
（2）若a+b+2=0，且函數(shù)f（x）＞3x+1，x∈（0，1）上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）∵f（x）＜0的解集是(

1

4

，

1

3

)，
∴

1

4

，

1

3

是ax²-bx+1=0的根，
∴

1 4 + 1 3 = b a 1 4 • 1 3 = 1 a

∴a=12，b=7；
（2）∵a+b+2=0，
∴b=-a-2
∴f（x）＞3x+1，等價于ax²+（a-1）x＞0
∵f（x）＞3x+1，x∈（0，1）上恒成立，
∴ax+（a-1）＞0，x∈（0，1）上恒成立，
∴

a-1＞0 2a-1＞0

∴a＞1．