Question

（12分）如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點 和的直線與原點的距離為．

（1）求橢圓的方程;
（2）已知定點，若直線與橢圓交于、兩   點．問：是否存在的值，
使以為直徑的圓過點?請說明理由．

Answer 1

（1）．（2）存在，使得以CD為直徑的圓過點E。

解析試題分析：（1）設橢圓的標準方程，根據離心率求得a和c關系，進而根據a求得b，則橢圓的方程可得．
（2）由題意知，直線l的參數方程，代入橢圓方程聯立消去x，y，要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CE⊥DE時成立，利用關系式得到k的值。
解：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0．
依題意　解得　 
∴　橢圓方程為．　                 4分
（2）假若存在這樣的k值，
由得   ．6分
∴　　　　　①
設，、，，則    ②   8分
而．
要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CE⊥DE時，則，即
  ∴　　③
將②式代入③整理解得．     經驗證，，使①成立．
綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E．   12分
考點：本題主要考查了橢圓的方程與其幾何性質的運用。直線與圓錐曲線的綜合問題．此類題綜合性強，要求學生要有較高地轉化數學思想的運用能力，能將已知條件轉化到基本知識的運用．
點評：解決該試題的關鍵是熟悉圓錐曲線的基本性質，能運用a,b,c準確表示，而對于是否存在要使以CD為直徑的圓過點E，轉化為垂直的關系式得到。