Question

【題目】已知函數。

（1）當時，求函數在處的切線方程；

（2）求函數在上的最小值；

（3）證明：，都有．

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案見解析；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)利用導函數研究函數的切線方程可得切線方程為

(2)分類討論可得：當時，；當，；當時，

(3)構造新函數，結合(1)的結論和不等式的特點研究函數的最值即可證得題中的結論.

試題解析：

（1）時，

切線斜率，切點為，切線方程為

（2），令

①當時，，在上單調遞增，

；

②當，即時， 在上單調遞減，在上單調遞增，；

③當時，，在上單調遞減，

（3）要證的不等式兩邊同乘以，則等價于證明

令，則由（1）知

令，則，當時，，遞增；

當時，，遞增減；

所以，且最值不同時取到，即

，都有。