Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，為等腰直角三角形，，D為BC的中點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）連接交與點(diǎn)，可證得，從而得證線面平行；

（2）以DA，DC所在直線，過點(diǎn)D且平行于的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，由直線的方向向量與法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值求得線面角的正弦值．

（1）連接，記，連接DE，

在直三棱柱中，易知側(cè)面為平行四邊形，所以E是的中點(diǎn)，

又D為BC的中點(diǎn)，所以，

又平面，平面，所以平面．

（2）因?yàn)?/span>，D為BC的中點(diǎn)，所以，

又在直三棱柱中，平面ABC，

所以可以DA，DC所在直線，過點(diǎn)D且平行于的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，為等腰直角三角形，

所以，，，，

故，，．

設(shè)平面的法向量為，則，即，所以，

令，得，則為平面的一個(gè)法向量，

設(shè)直線與平面所成的角為，

則．

故直線與平面所成角的正弦值為．