Question

【題目】平行四邊形ABCD中，∠A，2AB＝BC，E，F分別是BC，AD的中點.將四邊形DCEF沿著EF折起，使得平面ABEF⊥平面DCEF，得到三棱柱AFD﹣BEC.

（1）證明：DB⊥EF；

（2）若AB＝2，求三棱柱AFD﹣BEC的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3

【解析】

（1）取EF的中點O，連接OD，OB，ED，FB，可得△BEF，△DEF是等邊三角形.可得OD⊥EF，OB⊥EF，由直線與平面垂直的判定可得EF⊥平面BOD，進一步得到DB⊥EF；

（2）三棱柱AFD﹣BEC可分為四棱錐D﹣ABEF與三棱錐B﹣CDE.由（1）知OD⊥EF，結合面面垂直的性質可得OD⊥平面ABEF，同理可證OB⊥平面DCEF，分別求出兩個棱錐的體積，作和得答案.

（1）證明：取EF的中點O，連接OD，OB，ED，FB，

可得△BEF，△DEF是等邊三角形.

∴OD⊥EF，OB⊥EF，

∵OD∩OB＝O，∴EF⊥平面BOD，

而BD平面BOD，

∴DB⊥EF；

（2）解：三棱柱AFD﹣BEC可分為四棱錐D﹣ABEF與三棱錐B﹣CDE.

由（1）知OD⊥EF，而平面ABEF⊥平面DCEF，且交線為EF，

∴OD⊥平面ABEF.

同理可證OB⊥平面DCEF.

四棱錐D﹣ABEF的體積，

三棱錐B﹣CDE的體積，

∴三棱柱AFD﹣BEC的體積V＝2+1＝3.