Question

三個同學對問題“關于x的不等式x²+25+|x³-5x²|≥ax在[1，12]上恒成立，求實數a的取值范圍”提出各自的解題思路．
甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”．
乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”．
丙說：“把不等式兩邊看成關于x的函數，作出函數圖象”．
參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確結論，即a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用“不等式變形為左邊含變量x的函數，右邊僅含常數，求函數的最值”的想法：原式化為：a≤x+

25

x

+|x2-5x|
再利用：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”即可解決．

解答：解：由x²+25+|x³-5x²|≥ax，1≤x≤12?a≤x+

25

x

+|x2-5x|，
而x+

25

x

≥2

x• 25 x

=10，等號當且僅當x=5∈[1，12]時成立；
且|x²-5x|≥0，等號當且僅當x=5∈[1，12]時成立；
所以，a≤[x+

25

x

+|x2-5x|]min=10，等號當且僅當x=5∈[1，12]時成立；
故答案為（-∞，10]；

點評：本題主要考查了絕對值不等式的解法、基本不等式在最值問題中的應用，是一道已給出解法提示，讓解題者得到友情提醒的情況下答題，富有創意．