Question

【題目】已知定義域為R的函數f（x）＝是奇函數．

（1）求a，b的值；

（2）若對任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2，1；（2）

【解析】試題（Ⅰ）利用奇函數定義，在f（﹣x）=﹣f（x）中的運用特殊值求a，b的值；

（Ⅱ）首先確定函數f（x）的單調性，然后結合奇函數的性質把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0轉化為關于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．

解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數，所以f（0）=0，

即

又由f（1）=﹣f（﹣1）知．

所以a=2，b=1．

經檢驗a=2，b=1時，是奇函數．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

易知f（x）在（﹣∞，+∞）上為減函數．

又因為f（x）是奇函數，

所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0

等價于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），

因為f（x）為減函數，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．

即對一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，

從而判別式．

所以k的取值范圍是k＜﹣．