Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若，過分別作曲線與的切線，且與關于軸對稱，求證: .

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) 見解析.

【解析】試題分析：(1) 求出，分五種情討論，分別令得增區間， 得減區間；（2）根據導數的幾何意義可求出兩切線的斜率分別為，根據切點處兩函數縱坐標相等可得關于的兩個等式，由其中一個等式求得的范圍，再根據另一個等式利用導數求得的范圍.

試題解析：由已知得，所以.

(1) . ① 若，當或時， ；當時， ，所以的單調遞增區間為；

單調遞減區間為. ②若，當時， ；當時， ，所以的單調遞增區間為；單調遞減區間為. ③ 若，當或時， ；當時， ，所以的單調遞增區間為；單調遞減區間為.④若，故的單調遞減區間為.⑤若，當或時， ；當時， ，所以的單調遞增區間為；單調遞減區間為.

當時， 的單調遞增區間為；單調遞減區間為.

當時， 的單調遞增區間為；單調遞減區間為.當時， 的單調遞增區間為；單調遞減區間為.

當時， 的單調遞減區間為；當時， 單調遞增區間為 ；

單調遞減區間為,；

(2) ,設的方程為，切點為，則，所以.由題意知，所以的方程為，設與的切點為，則.

又,即，令，在定義域上， ，所以上， 是單調遞增函數，又，所以，即，令，則，所以，故

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