Question

設V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f：V→V，

a

∈V，記

a

的象為f(

a

)．若映射f：V→V滿足：對所有

a

，

b

∈V及任意實數λ，μ都有f(λ

a

+μ

b

)=λf(

a

)+μf(

b

)，則f稱為平面M上的線性變換．現有下列命題：
①設f是平面M上的線性變換，則f(

0

)=

0

②對

a

∈V設f(

a

)=2

a

，則f是平面M上的線性變換；
③若

e

是平面M上的單位向量，對

a

∈V設f(

a

)=

a

-

e

，則f是平面M上的線性變換；
④設f是平面M上的線性變換，

a

，

b

∈V，若

a

，

b

共線，則f(

a

)，f(

b

)也共線．
其中真命題是

 

（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：本題考查的知識點的演繹推理，由已知中，若映射f：V→V滿足：對所有

a

，

b

∈V及任意實數λ，μ都有f(λ

a

+μ

b

)=λf(

a

)+μf(

b

)，則f稱為平面M上的線性變換．我們根據其定義對題目中的四個結論進行判斷，即可得到結論．

解答：解：令

a

=

b

=

0

，λ=μ=1，
由題有f（

0

）=2f（

0

）?f（

0

）=

0

，故①正確；
由題f（λ

a

+μ

b

）=2（λ

a

+μ

b

），
λf（

a

）+μf（

b

）=2λ

a

+2μ

b

）=2（λ

a

+μ

b

），
即f（λ

a

+μ

b

）=λf（

a

）+μf（

b

），故②正確；
由題f（λ

a

+μ

b

）=λ

a

+μ

b

-

e

，
λf（

a

）+μf（

b

）=λ

a

-

e

+μ

b

-

e

，，
即f（λ

a

+μ

b

≠λf（

a

）+μf（

b

），故③不正確；
由題

b

=λ

a

，f（

0

）=f（

a

-λ

b

）=f（

a

）-λf（

b

）

0

?f（

a

）=λf（

b

），
即f（

a

），f（

b

）也共線，故④正確；
故答案為：①②④

點評：演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出結論的三段論推理．三段論推理的依據用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質P．三段論的公式中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況；這兩個判斷聯合起來，揭示了一般原理和特殊情況的內在聯系，從而產生了第三個判斷結論．演繹推理是一種必然性推理，演繹推理的前提與結論之間有蘊涵關系．因而，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結論必定是真實的，但錯誤的前提可能導致錯誤的結論．