Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上的最小值記為，請寫出的函數(shù)表達(dá)式。

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間

（2）

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由，可得；由可得，從而得單調(diào)區(qū)間；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出區(qū)間上的最小值即可．

（1）∵，

∴

當(dāng)a＝1時(shí)，，

由，可得；由可得.

所以單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間.

（2），

∵a＞0，x＞0，由f′（x）＞0得x＞2a，由f′（x）＜0得0＜x＜2a，

∴f（x）在（0，2a]上為減函數(shù)，在（2a，+∞）上為增函數(shù)．

①當(dāng)0＜2a≤1即0＜a時(shí)，f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，

∴g（a）＝f（1）＝2a2+1．

②當(dāng)1＜2a＜2即a時(shí)，f（x）在[1，2a]上為減函數(shù)，在（2a，2]上為增函數(shù)，

∴g（a）＝f（2a）＝﹣aln（2a）+3a

③當(dāng)2a≥2即a時(shí)，f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，

∴

綜上所述，.