Question

【題目】已知函數.

（1）討論在上的單調性；

（2），，總有成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數在上單調遞增；當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增；（2）.

【解析】

（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）先利用判別式，整理得，成立，，兩次求導可得，由此，從而可得結果.

（1）因為，

所以.

①當時，恒成立，所以函數在上單調遞增.

②當時，由，得，

當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增.

綜上所述，

當時，函數在上單調遞增；

當時，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

（2）由得，

，

整理得，

由題意得“，，總有成立”等價于“，，恒成立”.

所以，

方法一：整理得，成立.

令，

則.

令，則，

當時，，在區間上單調遞增；

當時，，在區間上單調遞減，

所以，

所以當時，，在區間上單調遞增；

當時，，在區間上單調遞減，

所以，

所以，

即.

故實數的取值范圍為.

方法二：整理得，

令，則，

當時，，在區間上單調遞增；

當時，，在區間上單調遞減，

所以，

所以

即，

故實數的取值范圍為.