Question

【題目】如圖，三角形所在的平面與長方形所在的平面垂直，.點是邊的中點，點分別在線段，上，且.

(1)證明：；

(2)求二面角的正切值；

(3)求直線與直線PG所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】⑴見證明；⑵；⑶

【解析】

（1）由面面垂直的性質得到平面，進而得到.

（2）由二面角的定義可知二面角的平面角為，在中求解即可.

（3）將直線與所成轉化為直線與直線所成角，利用余弦定理求解.

(1)證明：因為，點是中點，所以.

又因為平面平面，交線為，所以平面.

又平面，所以.

(2)由(1)可知，.

因為四邊形為長方形，所以.

又因為，所以平面.

而平面，所以.

由二面角的平面角的定義，可知為二面角的一個平面角．

在中，

所以

從而二面角的正切值為.

(3)連接.因為，所以.

易求得，

所以直線與直線所成角等于直線與直線所成角，即，

在中，

所以直線與直線所成角的余弦值為.