Question

【題目】已知橢圓：，過原點作射線交橢圓于，平行四邊形的頂點，在橢圓上.

（1）若射線的斜率為，求直線的斜率；

（2）求證：四邊形的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）將射線方程與橢圓方程聯立可求得點坐標，由此得到中點坐標，利用點差法可求得直線斜率；

（2）①當直線斜率不存在時，由對稱性可知四邊形為菱形，可求得其面積為；②當直線斜率存在時，設方程為，與橢圓方程聯立得到韋達定理的形式，結合平面向量線性運算可求得點坐標，代入橢圓方程得到的關系；利用弦長公式和點到直線距離公式表示出和原點到直線距離，由化簡可得面積為；綜合兩種情況可得結論.

（1）設射線的方程為，與橢圓聯立得：，

當時，中點，

四邊形為平行四邊形，為中點，

設，，

，兩式作差得：，

；

當時，同理可求得；

綜上所述：直線的斜率為.

（2）①當直線斜率不存在時，四邊形為菱形，且平分，

方程為或，，；

②當直線斜率存在時，設方程為：，

由得：，

則，整理得：，

設，，則，，

，

四邊形為平行四邊形，，

即點坐標為，即，

在橢圓上，，整理得：，

，

又原點到直線距離，；

綜上所述：四邊形的面積為定值.