Question

【題目】設函數f（x）= ，其中k＜﹣2．
（1）求函數f（x）的定義域D（用區間表示）；
（2）討論函數f（x）在D上的單調性；
（3）若k＜﹣6，求D上滿足條件f（x）＞f（1）的x的集合（用區間表示）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設t=x2+2x+k，則f（x）等價為y=g（t）= ，

要使函數有意義，則t2+2t﹣3＞0，解得t＞1或t＜﹣3，

即x2+2x+k＞1或x2+2x+k＜﹣3，

則（x+1）2＞2﹣k，①或（x+1）2＜﹣2﹣k，②，

∵k＜﹣2，∴2﹣k＞﹣2﹣k，

由①解得x+1＞ 或x+1 ，即x＞ ﹣1或x ，

由②解得﹣ ＜x+1＜ ，即﹣1﹣ ＜x＜﹣1+ ，

綜上函數的定義域為（ ﹣1，+∞）∪（﹣∞，﹣1﹣ ）∪（﹣1﹣ ，﹣1+ ）

（2）解：f′（x）= =

=﹣ ，

由f'（x）＞0，即2（x2+2x+k+1）（x+1）＜0，則（x+1+ ）（x+1﹣ ）（x+1）＜0

解得x＜﹣1﹣ 或﹣1＜x＜﹣1+ ，結合定義域知，x＜﹣1﹣ 或﹣1＜x＜﹣1+ ，

即函數的單調遞增區間為：（﹣∞，﹣1﹣ ），（﹣1，﹣1+ ），

同理解得單調遞減區間為：（﹣1﹣ ，﹣1），（﹣1+ ，+∞）

（3）解：由f（x）=f（1）得（x2+2x+k）2+2（x2+2x+k）﹣3=（3+k）2+2（3+k）﹣3，

則[（x2+2x+k）2﹣（3+k）2]+2[（x2+2x+k）﹣（3+k）]=0，

∴（x2+2x+2k+5）（x2+2x﹣3）=0

即（x+1+ ）（x+1﹣ ）（x+3）（x﹣1）=0，

∴x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ 或x=﹣3或x=1，

∵k＜﹣6，

∴1∈（﹣1，﹣1+ ），﹣3∈（﹣1﹣ ，﹣1），

∵f（﹣3）=f（1）=f（﹣1﹣ ）=f（﹣1+ ），

且滿足﹣1﹣ ∈（﹣∞，﹣1﹣ ），﹣1+ ∈（﹣1+ ，+∞），

由（2）可知函數f（x）在上述四個區間內均單調遞增或遞減，結合圖象，要使f（x）＞

f（1）的集合為：

（ ）∪（﹣1﹣ ，﹣3）∪（1，﹣1+ ）∪（﹣1+ ，﹣1+ ）

【解析】（1）利用換元法，結合函數成立的條件，即可求出函數的定義域．（2）根據復合函數的定義域之間的關系即可得到結論．（3）根據函數的單調性，即可得到不等式的解集．
【考點精析】本題主要考查了函數的定義域及其求法和函數單調性的性質的相關知識點，需要掌握求函數的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數;②是分式函數時，定義域是使分母不為零的一切實數;③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數的集合;④對數函數的真數大于零，當對數或指數函數的底數中含變量時，底數須大于零且不等于1,零（負）指數冪的底數不能為零；函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．