Question

【題目】已知函數，，.

（1）若函數在上是單調函數，求實數m的取值范圍；

（2）當時，

（i）求函數在點處的切線方程；

（ii）若對任意，不等式恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）

（2）（i），（ii）

【解析】

（Ⅰ）求出原函數的導函數，利用導函數恒大于等于0或恒小于等于0求解的取值范圍；

（Ⅱ）當時，，，

求得與，再由直線方程的點斜式求解；

證明當，時，，，可得時不等式恒成立，然后利用導數證明時不等式不成立，則答案可求．

解：（1），

因為函數在上是單調函數，

所以函數在上是單調遞增函數或是單調遞減函數，

即或恒成立，也即或在上恒成立.

當時，，

所以.

（2）當時，，.

（i）因為，所以.

又，所以函數在點處的切線方程為.

（ii）由（i）知函數在點處的切線方程為，

下面先證明，.

證明：設函數，，

.

因為，所以，

所以函數在上單調遞增，又，所以.

所以，.①

接下來證明：當時，.

設函數，則，

所以當時，，所以函數在上單調遞減.

又，所以，故，.②

依據①②式可知，當時，顯然成立.

當時，設，

則，

取，，

則.

又因為，由零點存在性判定方法可知：必存在，使得.

當時，，此時單調遞減，又，所以，矛盾.

綜上可知：.