Question

已知函數f(x)=x+log2

x

3-x

(x∈(0，3))
（1）求證：f（x）+f（3-x）為定值．
（2）記S(n)=

1

2n

2n-1

i=1

f(1+

i

2n

)(n∈N*)，求S（n）．
（3）若函數f（x）的圖象與直線x=1，x=2以及x軸所圍成的封閉圖形的面積為S，試探究S（n）與S的大小關系．

Answer 1

分析：（1）把x及3-x分別代入已知函數即可求解f（x）+f（3-x）的值；
（2）由（1）知，f(1+

1

2n

)+f(1+

2n-1

2n

)=3，f(1+

2

2n

)+f(1+

2n-2

2n

)=3，…，結合此規律，可考慮利用倒序相加可求和；
（3）由f（x）=x+log2(

3

3-x

-1)為增函數，結合（1）知函數y=f（x）的圖象關于點（

3

2

，

3

2

）對稱，記點A（1，0），B（2，3），C（2，0），可求封閉圖形的面積等于△ABC的面積，即S=

3

2

，而，可判斷

解答：解（Ⅰ）∵f（x）+f（3-x）
=（x+log2

x

3-x

）+[（3-x）+log2

3-x

x

]
=（x+3-x）+log2

x

3-x

•

3-x

x

=3+log2

x

3-x

•

3-x

x

=3+0=3；
（2）S(n)=

1

2n

2n-1

i=1

f(1+

i

2n

)(n∈N*)
=

1

2n

[f(1+

1

2n

)+f(1+

2

2n

)+…+f(1+

2n-1

2n

)]①，
Sn=

1

2n

[f(1+

2n-1

2n

)+f(1+

2n-2

2n

)+…+f(1+

1

2n

)]②，
由（1）知，f(1+

1

2n

)+f(1+

2n-1

2n

)=3，f(1+

2

2n

)+f(1+

2n-2

2n

)=3，…
①+②得：2Sn=

1

2n

[3•(2n-1)]=3（1-

1

2n

），
∴Sn=

3

2

(1-

1

2n

)；
（3）∵f（x）=x+log2(

3

3-x

-1)為增函數，
∴x∈[1，2]時，f（x）＞f（1）=0，
由（1）知函數y=f（x）的圖象關于點（

3

2

，

3

2

）對稱，記點A（1，0），B（2，3），C（2，0），
所求封閉圖形的面積等于△ABC的面積，即S=

3

2

，
∵Sn=

3

2

(1-

1

2n

)＜

3

2

，
∴S（n）＜S．

點評：本題以函數的基本運算為基本載體，主要考查了數列求和的倒序相加求解和的方法的應用，解題的關鍵是尋求題目的規律