Question

已知函數f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實數a，使g（x）在區間[2，3]上的最大值為2，若存在，請求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）原函數是冪函數，由f（3）＜f（5）知函數在（0，+∞）上的單調性，由冪指數大于0解得m的值，再根據函數為偶函數即可求出m的具體值；
（2）把（1）中求出的f（x）代入，整理后由對數式的真數大于0求出a的初步范圍，再根據函數在[2，3]上有定義進一步縮小a的范圍，然后分類討論函數在區間[2，3]上的最大值，根據最大值為2求解a的值．

解答：解：（1）由條件知冪函數f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)在（0，+∞）上為增函數，則-2m²+m+3＞0∴-1＜m＜

3

2

，
又m∈Z，∴m=0或1．
當m=0時，f（x）=x³，不滿足f（x）為偶函數；
當m=1時，f（x）=x²，滿足f（x）為偶函數；
∴f（x）=x²．
（2）g(x)=loga(x2-ax)，令h（x）=x²-ax，由h（x）＞0得：x∈（-∞，0）∪（a，+∞）
∵g（x）在[2，3]上有定義，∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）=x²-ax在[2，3]上為增函數．
當1＜a＜2時，g_max=g（3）=log_a（9-3a）=2，∴a2+3a-9=0⇒a=

-3±3 5

2

，又1＜a＜2，∴a=

-3+3 5

2

當0＜a＜1時，g_max=g（2）=log_a（4-2a）=2，∴a2+2a-4=0⇒a=-1±

5

，又0＜a＜1，∴此種情況不存在．
綜上，存在實數a=

-3+3 5

2

，使g（x）在區間[2，3]上的最大值為2．

點評：本題考查了冪函數的性質，考查了函數的奇偶性的性質，考查了分類討論的數學思想，訓練了利用函數單調性求函數的最值，考查了計算能力，是中檔綜合題．