Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形， ， 平面， ， ， ， 是中點．

（I）求證：直線平面．

（II）求證：直線平面．

（III）在上是否存在一點，使得二面角的大小為，若存在，確定的位置，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（I）見解析；（Ⅱ）見解析（III）與重合．點的位置為所求.

【解析】試題分析：（I）結合條件中給出的線段間的長度關系，在上取點，使，證明四邊形為平行四邊形，可得,故可得結論；（II）結合圖形分析可得只需證， ，便可得到平面；（III）建立空間直角坐標系，用向量法通過計算進行判斷可得結果。

試題解析：

證明：（I）在上取點，使，連接， ，

因為， ，

所以，且，

因為， ，

所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，

所以，

又平面, 平面,

所以平面

（Ⅱ）因為是中點，底面是菱形， ，

所以，

因為，

所以，

所以．

又平面，

所以

又

所以直線平面

（III）由（Ⅱ）可知， ， ，相互垂直，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz．

則， ， ，

假設存在點G滿足條件，其坐標為

設平面的一個法向量為，

由，得 ，

令，則

同理可得平面的法向量，

由題意得

，

解得

所以點。

所以當點與點重合時，二面角的大小為．

因此點為所求的點。