對于無窮數列
和函數
，若
，則稱是數列的母函數.
（Ⅰ）定義在
上的函數
滿足：對任意
，都有
，且
；又數列
滿足：
.
求證：(1)
是數列
的母函數；
(2)求數列的前項
和
.
（Ⅱ）已知
是數列
的母函數，且
.若數列
的前項和為
，求證：
.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
，
滿足：
．
（1）若
，求數列的通項公式；
（2）若
，且
．
① 記
，求證：數列
為等差數列；
② 若數列
中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次，求首項
應滿足的條件．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知三次函數
為奇函數，且在點
的切線方程為
(1)求函數
的表達式；
(2)已知數列
的各項都是正數,且對于
,都有
,求數列的首項
和通項公式；
(3)在(2)的條件下，若數列
滿足
,求數列的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設數列
的前
項和為
，且方程
有一個根為
，
．
（1）證明：數列
是等差數列；
（2）設方程的另一個根為
，數列
的前項和為
，求
的值；
（3）是否存在不同的正整數
，使得
，
，
成等比數列，若存在，求出滿足條件的，若不存在，請說明理由．
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，
，
（Ⅱ）
，
從而
為首項，
為公比的等比數列
故當
時，有
，化簡得結論
的等差數列，故
.
①
②
.
.
，數列
滿足
。
；
中，
，滿足
。
為等差數列;
項和
.
的前
項和為
，
，
，
，
．
的前
為等比數列，
；
為等差數列
的前n項和，
.
，求
中，
，求數列
的前n項和
.