Question

（2013•南通三模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點為F（1，0），離心率為

2

2

．分別過O，F的兩條弦AB，CD相交于點E（異于A，C兩點），且OE=EF．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證：直線AC，BD的斜率之和為定值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，建立關于a、c的方程組，解之可得a=

2

且c=1，再用平方關系算出b²=1，即可得到橢圓的方程；
（2）設直線AB的方程為y=kx，與橢圓方程聯解可得A的橫坐標為

2 2k2+1

，點B的橫坐標為-

2 2k2+1

，同理得到點C、D的橫坐標關于k的式子，由此結合直線的斜率公式化簡整理，即可算出直線AC，BD的斜率之和為0，從而證出所求證的命題是真命題．

解答：解：（1）由題意，得c=1，e=

c

a

=

2

2

，
故a=

2

，可得b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．  ①…（5分）
（2）證明：設直線AB的方程為y=kx，②
直線CD的方程為y=-k（x-1），③…（7分）
由①②聯解，得點A的橫坐標為

2 2k2+1

，點B的橫坐標為-

2 2k2+1

，
同理，聯解①③，得點C的橫坐標為

2k2- 2(k2+1)

2k2+1

，D的橫坐標為

2k2+ 2(k2+1)

2k2+1

…（9分）
記A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），C（x₃，k（1-x₃）），D（x₄，k（1-x₄）），
因此，直線AC，BD的斜率之和為

kx1-k(1-x3)

x1-x3

+

kx2-k(1-x4)

x2-x4

=k•

(x1+x3-1)(x2-x4)+(x1-x3)(x2+x4-1)

(x1-x3)(x2-x4)

=k•

2(x1x2-x3x4)-(x1+x2)+(x3+x4)

(x1-x3)(x2-x4)

…（13分）
=k•

2( -2 2k2+1 - 2(k2-1) 2k2+1 )-0+ 4k2 2k2+1

(x1-x3)(x2-x4)

=0．     
即直線AC，BD的斜率之和為0（定值）         …（16分）

點評：本題給出橢圓方程，求證分別經過O、F的兩條直線AB、CD在滿足傾角互補的情況下，直線AC、BD斜率之和為定值．著重考查了橢圓的簡單幾何性質和直線與橢圓的位置關系等知識，屬于中檔題．