Question

【題目】已知函數，曲線在點處的切線方程是.

（Ⅰ）求實數，的值;

（Ⅱ）若函數有兩個不同的零點，，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）詳見解析.

【解析】

（Ⅰ）根據導數的幾何意義，點處的導數就是該點切線的斜率，再根據該切點既在曲線上也在直線上，列式即可得解；

（Ⅱ）求出的解析式及其單調性，當時，，為增函數；

時，，為減函數，由函數有兩個不同的零點，則，滿足，構造函數，再根據的單調性即可得出，的關系.

（Ⅰ）由求導，得，

由切線方程知，切點為，

切線斜率為，

所以解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，

，

當時，，為增函數；

時，，為減函數.

所以時，函數取得極大值.

又易知，，，

所以函數的兩個不同的零點，滿足，

構造函數，

即，

.

當時，，所以為上的增函數，

因為，所以，

即，即，

因為，所以，

又因為，所以，而，且在區間上單調遞減，

所以由可得，

即.