Question

【題目】已知實數a，b，c滿足a，b，c∈R+ ．
（Ⅰ）若ab=1，證明：（ + ）2≥4；
（Ⅱ）若a+b+c=3，且 + + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵ab=1，∴（ + ）2=a2+b2+2≥2ab+2=4； （Ⅱ）解：（ + + ）2≤（1+1+1）（a+b+c）=9，
∵ + + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立，
∴9≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3，
∴|2x﹣1|﹣|x﹣2|≥6，
x＜ ，不等式化為﹣2x+1+x﹣2≥6，∴x≤﹣7，∴x≤﹣7，
，不等式化為2x﹣1+x﹣2≥6，∴x≥3，不成立；
x＞2，不等式化為2x﹣1﹣x+2≥6，∴x≥5，∴x≥5；
綜上所述，x≤﹣7或x≥5
【解析】（Ⅰ）利用基本不等式，即可證明結論；（Ⅱ）（ + + ）2≤（1+1+1）（a+b+c）=9， + + ≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3恒成立，可得9≤|2x﹣1|﹣|x﹣2|+3，分類討論，即可求x的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了不等式的證明的相關知識點，需要掌握不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等才能正確解答此題．