Question

【題目】已知三棱錐P﹣ABC的各頂點都在同一球的面上，且PA⊥平面ABC，若球O的體積為 （球的體積公式為 R3 ， 其中R為球的半徑），AB=2，AC=1，∠BAC=60°，則三棱錐P﹣ABC的體積為（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：如圖所示，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，則BC2=22+12﹣2×1×2×cos60°=3， 解得BC= ，∴ ．
∴∠ACB=90°．
取AB的中點D，則球心O滿足OD⊥平面ABC．
又PA⊥平面ABC，∴三棱錐P﹣ABC的外接球的球心O為PB的中點．
∴OD= PA．
由球的體積計算公式可得： R3= ，解得R= ．
∴OD= =2．
∴PA=4
∴三棱錐P﹣ABC的體積V= PA= = ．
故選：B．