【題目】已知函數
(1)若
，當
時，求
的單調區間；
(2)若函數
有唯一的零點，求實數a的取值范圍.
【答案】（1）
的單調增區間為
，的單調減區間為
，（2）實數
的取值范圍為
。
【解析】
（1）對函數
求導，把
代入導函數中，利用導函數求出的單調區間；
（2）函數
有唯一的零點等價于方程
有唯一實數根，利用導數研究函數
與
的交點即可求出實數的取值范圍。
（1）由題可得：
，定義域為
，
，
，
令
得：
或
（舍去）
令
得：
或
，結合定義域得：
令得：
，結合定義域得：
的單調增區間為，的單調減區間為，
（2）函數有唯一的零點等價于
只有唯一的實數根，
顯然
，則只有唯一的實數根等價于關于
的方程有唯一實數根，
構造函數
，則
，
令
，解得：
，
令
，解得：
，則函數
在
上單調遞增；
令
，解得：
，則函數在
上單調遞減；
的極小值為
，
如圖，作出函數的大致圖像，則要使方程只有唯一實數根，只需要直線
與曲線
只有唯一交點，
或
，解得：
或
，
故實數的取值范圍為
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在正方體
中邊長AB為2，P為正方形A1B1C1D1四邊上的動點，O為底面正方形ABCD的中心，Q為正方形ABCD內一點，M，N分別為AB，BC上靠近A和C的三等分點，若線段
與OP相交且互相平分，則點Q的軌跡與線段MN形成的封閉圖形的面積為____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ABB1A1為矩形，AB=2，AA1=2
，D是AA1的中點，BD與AB1交于點O，且CO⊥ABB1A1平面．
（1）證明：BC⊥AB1；
（2）若OC=OA，求直線CD與平面ABC所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，過點P(－2，－4)的直線l： 
(t為參數)與曲線C相交于M，N兩點．
(1)求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比數列，求實數a的值．
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