Question

近日，國家經貿委發出了關于深入開展增產節約運動，大力增產市場適銷對路產品的通知，并發布了當前國內市場185種適銷工業品和42種滯銷產品的參考目錄．為此，一公司舉行某產品的促銷活動，經測算該產品的銷售量P萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用x萬元滿足(其中，a為正常數)．已知生產該產品還需投入成本10+2P萬元(不含促銷費用)，產品的銷售價格定為元／件．
(1)將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；
(2)促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

Answer 1

（1），（）.
（2）當時,促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大;
當時,促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大 .

試題分析：（1）由題意得到， 將代入化簡即得
，（）.
（2）將原函數變形，應用基本不等式，，
當且僅當時，上式取等號.根據，討論，,的不同情況，確定最大利潤.
試題解析：（1）由題意知， ，  
將代入化簡得：
，（），                               6分
（2），
當且僅當時，上式取等號.                       9分
當時,促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大;
當時,在上單調遞增,所以在時,函數有最大值．促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大 .
綜上述,當時,促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大;
當時,促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大 .                  12分