Question

在等比數(shù)列{a_n}和等差數(shù)列{b_n}中,a₁=b₁＞0,a₃=b₃＞0,a₁≠a₃,試比較a₅和b₅的大小.

Answer 1

解析:設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q,等差數(shù)列{b_n}的公差為d,

∵a₁=b₁＞0,a₃=a₁q²,b₃=b₁+2d,且已知a₃=b₃,∴a₁q²=b₁+2d.

∴2d=a₁q²-b₁=a₁(q²-1).

∵a₁≠a₃,∴q²≠1.

而b₅-a₅=a₁+4d-a₁q⁴=a₁+2a₁(q²-1)-a₁q⁴

=-a₁q⁴+2a₁q²-a₁=-a₁(q²-1)².

∵(q²-1)²＞0,a₁＞0,∴a₁(q²-1)²＞0.

∴-a₁(q²-1)²＜0,

即b₅＜a₅.