Question

【題目】在直角坐標系xOy中，已知橢圓E的中心在原點，長軸長為8，橢圓在X軸上的兩個焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形．

求橢圓的標準方程；

過橢圓內一點的直線與橢圓E交于不同的A，B兩點，交直線于點N，若，求證：為定值，并求出此定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由長軸為8，得，由兩個焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形，可得，從而可得結果；（2）設，由可得，代入橢圓方程得到,同理可得，利用韋達定理可得結果.

（1）因為長軸為8，所以，

又因為兩個焦點與短軸的一個頂點構成等邊三角形，

所以，由于橢圓焦點在軸上，

所以橢圓的標準方程為：；

（2）設，由

得，

所以，

，因為上，所以得到，

得到；

同理，由可得，

所以m，n可看作是關于x的方程的兩個根，

所以，為定值.