Question

（本小題滿分14分）.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D、E分別在棱PB、PC的中點，且DE∥BC.
(1)求證：DE∥平面ACD
(2)求證：BC⊥平面PAC；
(3)求AD與平面PAC所成的角的正弦值；

Answer 1

（1）略 ；(2)見解析；(3) AD與平面PAC所成角的正弦值為.

本題考查直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，考查邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．
（1）因為DE∥BC.可以推理證明DE∥平面ACD
（2）要證BC⊥平面PAC，只需證明BC垂直平面PAC內的兩條相交直線PA、AC即可；
（3）D為PB的中點，作出AD與平面PAC所成的角∠DAE，然后求其余弦值即可
解：（1）略 。。。。。。。。4分
(2)∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.
又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC.。。。。。。。。。9分
(3)∵D為PB的中點，DE∥BC，  ∴DE＝BC.
又由(1)知，BC⊥平面PAC，   ∴DE⊥平面PAC，垂足為點E，
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角．。。。。。。。。。。。。。。。。。。11分
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB.
又PA＝AB，∴△ABP為等腰直角三角形，∴AD＝AB.
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴BC＝AB，
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE＝＝＝，
即AD與平面PAC所成角的正弦值為.。。。。。。。。。。。。。。。。14分