Question

【題目】若中心在原點的橢圓與雙曲線有共同的焦點，且它們的離心率互為倒數，圓的直徑是橢圓的長軸，C是橢圓的上頂點，動直線AB過C點且與圓交于A、B兩點，CD垂直于AB交橢圓于點D．

（1）求橢圓的方程；

（2）求面積的最大值，并求此時直線AB的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求得雙曲線的焦點坐標和離心率，由此求得橢圓的值，進而求得橢圓標準方程.（2）當直線斜率不存在時，不能構成三角形，不符合題意.當直線的斜率存在且不為零時，設出直線的方程，得到直線的方程，計算圓心到直線的的距離，由直線和圓相交的弦長公式計算出弦長.利用直線的方程和橢圓方程，根據根與系數關系以及弦長公式，計算出弦長.由此求得，利用換元法和基本不等式，求得面積的最大值，根據基本不等式等號成立的條件求得直線的斜率，由此求得直線的方程.當直線的斜率為零時，計算出，不是最大值.

（1）解：雙曲線的焦點為，離心率為 ，

由題意，，，解得：，

.橢圓方程為 ；

（2）解：當直線AB斜率不存在時，不能構成三角形，不符合題意

當AB斜率存在且不為0時，設直線AB的方程為，直線CD的方程為

圓心到直線AB的距離為，

直線AB被圓所截得的弦長，

由得：，

，，

故，

，

令，則，

故，

當且僅當，即時，等號成立，

此時，

當直線AB斜率為0，即軸時，，

面積的最大值為，這時直線AB的方程為.