Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx﹣a ，a∈R． （Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x≠1時， 恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）定義域是（0，+∞）， ． 令g（x）=x2+2（1﹣a）x+1．
①當△=4（1﹣a）2﹣4≤0，即0≤a≤2時，g（x）≥0恒成立，即f'（x）≥0，
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
②當△=4（1﹣a）2﹣4＞0時，即a＜0或a＞2時，方程g（x）=0有兩個不等的實根， ．
若a＜0，由x1+x2=2（a﹣1）＜0，x1x2=1＞0得，x1＜0，x2＜0，
所以g（x）＞0在（0，+∞）成立，即f'（x）＞0，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
若a＞2，由x1+x2=2（a﹣1）＞0，x1x2=1＞0得，x1＞0，x2＞0，
由g（x）＞0得x的范圍是（0，x1），（x2 ， +∞），由g（x）＜0得x的范圍（x1 ， x2），
即f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，x1），（x2 ， +∞），f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（x1 ， x2）．
綜上所述，當a＞2時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為 ；
當a≤2時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），無遞減區(qū)間．
（Ⅱ）由 ，得 ，
即 ，即 ，即 ．
①由（Ⅰ）可知當a≤2時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），又f（1）=0，
所以當x∈（0，1）時，f（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f（x）＞0；
又當x∈（0，1）時， ，當x∈（1，+∞）時， ；
所以 ，即原不等式成立．
②由（Ⅰ）可知當a＞2時，f（x）在（0，x1），（x2 ， +∞）單調(diào)遞增，在（x1 ， x2）單調(diào)遞減，
且x1x2=1，得x1＜1＜x2 ， f（x2）＜f（1）=0，
而 ，所以 與條件矛盾．
綜上所述，a的取值范圍是（﹣∞，2]．
【解析】（Ⅰ）定義域是（0，+∞）， ．令g（x）=x2+2（1﹣a）x+1．對△=4（1﹣a）2﹣4與0的大小，分類討論，即可得出單調(diào)性． （Ⅱ）由 ，得 ，即 ，即 ，即 ．對a分類討論，利用（I）的f（x）的單調(diào)性，即可得出．
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．