Question

（本小題滿分12分）
設函數.
(1)對于任意實數，在恒成立（其中表示的導函數），求的最大值；
(2)若方程在上有且僅有一個實根，求的取值范圍.

Answer 1

(1) (2).

試題分析：解：(1),.
法一：在恒成立在恒成立.…………………3分
由在的最小值為，
所以,得，即的最大值為. …………………………………………………6分
法二：令，.
要使在恒成立，則只需在恒成立.
由于的對稱軸為,當時，，
解得，所以的最大值為.……………………………………………………6分
(2)因為當時, ；當時, ；當時,；
即在和單增，在單減.
所以，.………………………………9分
故當或時,方程僅有一個實根.
得或時，方程僅有一個實根.
所以.………………………………………………………………12分
點評：根據導數不等式恒成立，來分析函數的最值來得到結論，同時對于方程根的問題，轉化為圖像與坐標軸的交點情況來說明即可，屬于中檔題。