Question

已知正四棱柱ABCD―A₁B₁C­₁D₁中，AB=2，AA₁=3.

（I）求證：A₁C⊥BD；

（II）求直線A₁C與側面BB₁C₁C所成的角的正切值；

20070406

（III）求二面角B₁―CD―B的正切值.

Answer 1

解：方法一：

(1)    連AC，在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，

所以AC⊥BD又側棱AA₁⊥平面ABCD

∴AC是A₁C是平面ABCD內的射影

∴A₁C⊥BD（三垂線定理）

（Ⅱ）在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，

A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，所以B₁C是A₁C在平面BB₁C₁C內的射影

∴∠A₁CB₁就是直線A₁C與側面BB₁C₁C所成的角

在直角三角形A₁CB₁中A₁B₁⊥B₁C，A₁B₁=2，B₁C=

（Ⅲ）在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，CD⊥平面BB₁C₁C ∴CD⊥B₁C，CD⊥BC

∴∠B₁CB為二面角B₁―CD―B的平面角

二面角B₁―CD―B的的正切值為

方法二：（I）同方法一      

（Ⅱ）如圖，以點D為原點建立空間直角坐標系，

   

則D（0，0，0），C（0，2，0），A₁（2，0，3）

又在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，DC⊥平面BB₁C₁C

為平面BB₁C₁C的一個法向量

又，設直線A₁C與側面BB₁C₁C所成的角為α，則

 

即為所求

（Ⅲ）B₁（2，2，3），D₁（0，0，3），B（2，2，0）

在正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁中，DD₁⊥平面ABCD，

所以平面ABCD的法向量為=（0，0，3）

設平面B₁DC的法向量為

由

∴n=（3，0，－2）

設二面角B₁―CD―B的大小為θ，則

 

即為所求