Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x2+y2﹣4x=0及點A（﹣1，0），B（1，2）

（1）若直線l平行于AB，與圓C相交于M，N兩點，MN=AB，求直線l的方程；
（2）在圓C上是否存在點P，使得PA2+PB2=12？若存在，求點P的個數；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓C的標準方程為（x﹣2）2+y2=4，所以圓心C（2，0），半徑為2．

因為l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直線l的斜率為 ，

設直線l的方程為x﹣y+m=0，

則圓心C到直線l的距離為 ．

因為 ，

而 ，所以 ，

解得m=0或m=﹣4，

故直線l的方程為x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．

（2）解：假設圓C上存在點P，設P（x，y），則（x﹣2）2+y2=4，

PA2+PB2=（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2=12，

即x2+y2﹣2y﹣3=0，即x2+（y﹣1）2=4，

因為 ，

所以圓（x﹣2）2+y2=4與圓x2+（y﹣1）2=4相交，

所以點P的個數為2

【解析】（1）求出圓心C到直線l的距離，利用勾股定理建立方程，即可求直線l的方程；（2）求出P的軌跡方程，利用兩圓的位置關系，即可得出結論．