Question

已知各項均為正數的數列滿足，， .
（Ⅰ）求證：數列是等比數列； 
（Ⅱ）當取何值時，取最大值，并求出最大值；
（Ⅲ）若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

（I）見解析
（II）當n=7或n=8時，取最大值，最大值為．
（III）實數的取值范圍是

（I）∵，，，
∴． 即．
又，所以．
∵，
∴是以為首項，公比為的等比數列．
（II）由（I）可知 （）．
∴．
．
當n=7時，，；
當n<7時，，；
當n>7時，，．
∴
當n=7或n=8時，取最大值，最大值為．
（III）由，得      （*）
依題意（*）式對任意恒成立，
當t=0時，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．
②當t<0時，由，可知（）．
而當m是偶數時，因此t<0不合題意．
③當t>0時，由（）,
∴   ∴． （）
設    （）
∵ =,
∴．∴的最大值為．
所以實數的取值范圍是．