Question

設f（x）=e^x-ax-1
（1）若f（x）在[-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞]上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）設g（x）=-x²+2x-2，在（1）的條件下，求證：g（x）的圖象恒在f（x）圖象的下方．

Answer 1

（1）解：求導數可得f′（x）=e^x-a
∵f（x）在（-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增，
∴f′（0）=e⁰-a=0，
∴a=1；
（2）證明：由（1）知，f（x）_min=0
∵g（x）=-x²+2x-2=-（x-1）²-1，∴x=1時，g（x）_max=-1
∵f（x）_min＞g（x）_max，
∴g（x）的圖象恒在f（x）圖象的下方．
分析：（1）利用函數的單調性，可得f′（0）=0，即可求實數a的取值范圍；
（2）只需證明f（x）_min＞g（x）_max，即可得到結論．
點評：本題考查函數的單調性，考查函數的最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．