Question

設f（x）=e^x-a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0對一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）設g(x)=f(x)+

a

ex

，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)是曲線y=g（x）上任意兩點，若對任意的a≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，求m的取值范圍；
（3）是否存在正整數a．使得1n+3n+…+(2n-1)n＜

e

e-1

(an)n對一切正整數n都成立？若存在，求a的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=e^x-a（x+1），知f′（x）=e^x-a，故f（x）_min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，再由f（x）≥0對一切x∈R恒成立，能a_max．
（2）由f（x）=e^x-a（x+1），知g（x）=f（x）+

a

ex

=ex+

a

ex

-ax-a．由a≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，知g′（x）=e^x-

a

ex

-a≥2

ex•(- a ex )

-a=-a+2

-a

=m，（a≤-1），由此能求出實數m的取值范圍．
（3）設t（x）=e^x-x-1，則t′（x）=e^x-1，從而得到e^x≥x+1，取x=-

i

2n

，i=1，3，…，2n-1，用累加法得到(

1

2n

)n+(

3

2n

)n+…+(

2n-1

2n

)n＜e-

2n-1

2

+e-

2n-3

2

+…+e-

1

2

=

e- 1 2 (1-e-n)

1-e-1

＜

e

e-1

．由此能夠推導出存在正整數a=2．使得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

•（an）ⁿ．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴f′（x）=e^x-a，
∵a＞0，f′（x）=e^x-a=0的解為x=lna．
∴f（x）_min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，
∵f（x）≥0對一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，
∴alna≤0，
∴a_max=1．
（2）∵f（x）=e^x-a（x+1），
∴g（x）=f（x）+

a

ex

=ex+

a

ex

-ax-a．
∵a≤-1，直線AB的斜率恒大于常數m，
∴g′（x）=e^x-

a

ex

-a≥2

ex•(- a ex )

-a=-a+2

-a

=m，（a≤-1），
解得m≤3，
∴實數m的取值范圍是（-∞，3]．
（3）設t（x）=e^x-x-1，
則t′（x）=e^x-1，令t′（x）=0得：x=0．
在x＜0時t′（x）＜0，f（x）遞減；在x＞0時t′（x）＞0，f（x）遞增．
∴t（x）最小值為f（0）=0，故e^x≥x+1，
取x=-

i

2n

，i=1，3，…，2n-1，
得1-

i

2n

≤e-

i

2n

，即(

2n-i

2n

)n≤e-

i

2

，
累加得(

1

2n

)n+(

3

2n

)n+…+(

2n-1

2n

)n＜e-

2n-1

2

+e-

2n-3

2

+…+e-

1

2

=

e- 1 2 (1-e-n)

1-e-1

＜

e

e-1

．
∴1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

•（2n）ⁿ，
故存在正整數a=2．使得1ⁿ+3ⁿ+…+（2n-1）ⁿ＜

e

e-1

•（an）ⁿ．

點評：本題考查滿足條件的實數的最大值的求法，考查滿足條件地實數的取值范圍的求法，探索滿足條件的實數的最小值．綜合性強，難度大．解題時要認真審題，合理地運算導數性質進行等價轉化．